4.1 Funciones exponenciales - Precálculo 2ed | OpenStax (2024)

Siga el orden de las operaciones. Preste atención a los paréntesis.

$$\begin{array}{lll}f\left(x\right)\hfill & =5{\left(3\right)}^{x+1}\hfill & \hfill \\ f\left(2\right)\hfill & =5{\left(3\right)}^{2+1}\hfill & \text{Sustituya}x=2.\hfill \\ \hfill & =5{\left(3\right)}^3\hfill & \text{Sume los exponentes}.\hfill \\ \hfill & =5\left(27\right)\hfill & \text{Simplifique la potencia}\text{.}\hfill \\ \hfill & =135\hfill & \text{Multiplique}\text{.}\hfill \end{array}$$

Supongamos que nuestra variable independiente $t$ es el número de años posteriores a 2006. Así, la información dada en el problema puede escribirse en pares de entrada-salida: (0, 80) y (6, 180). Observe que, al elegir como variable de entrada los años posteriores a 2006, nos hemos dado el valor inicial de la función, $a=80.$ Ahora podemos sustituir el segundo punto en la ecuación $N(t)=80b^t$ para calcular $b:$

$$\begin{array}{lll}N(t)\hfill & =80b^t\hfill & \hfill \\ 180\hfill & =80b^6\hfill & \text{Sustituya utilizando el punto}(6,180).\hfill \\ \frac{9}{4}\hfill & =b^6\hfill & \text{Divida y escriba en términos mínimos}.\hfill \\ b\hfill & ={\left(\frac{9}{4}\right)}^{\frac{1}{6}}\hfill & \text{Aísle}b\text{mediante el empleo de las propiedades de los exponentes}.\hfill \\ b\hfill & \approx \mathrm{1,1447}\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\hfill & \text{Redondee a 4 decimales}.\hfill \end{array}$$

NOTA: A menos que se indique lo contrario, no se redondean los cálculos intermedios. A continuación, redondee la respuesta final a cuatro lugares para el resto de esta sección.

El modelo exponencial con respecto a la población de ciervos es $N(t)=80{\left(\mathrm{1,1447}\right)}^t.$ (Observe que esta función exponencial modela el crecimiento a corto plazo. A medida que la entrada crece, el resultado será cada vez mayor, tanto así que el modelo podría no servir a largo plazo).

Podemos representar gráficamente nuestro modelo para observar el crecimiento demográfico de ciervos en el refugio con el paso del tiempo. Observe que el gráfico en la Figura 3 pasa por los puntos iniciales dados en el problema, $\left(0,80\right)$ y $\left(\text{6},180\right).$ También podemos ver que el dominio de la función es $[0,\infty ),$ y el rango de la función es $[80,\infty ).$

Figura 3 Gráfico que muestra la población de ciervos a lo largo del tiempo, $N(t)=80{\left(\mathrm{1,1447}\right)}^t,$ $t$ años después de 2006

Como no tenemos el valor inicial, sustituimos ambos puntos en una ecuación de la forma $f(x)=a{b}^x,$ y luego resolvemos el sistema para $a$ y $b.$

• Al sustituir $\left(–2,6\right)$ da como resultado $6=a{b}^{-2}$
• Al sustituir $\left(2,1\right)$ da como resultado $1=a{b}^2$

Utilice la primera ecuación para resolver $a$ en términos de $b:$

Sustituya $a$ en la segunda ecuación, y resuelva para $b:$

Utilice el valor de $b$ en la primera ecuación para resolver el valor de $a:$

Así, la ecuación es $f(x)=\mathrm{2,4492}{(\mathrm{0,6389})}^x.$

Podemos graficar nuestro modelo para comprobar nuestro trabajo. Observe que el gráfico en la Figura 4 pasa por los puntos iniciales dados en el problema, $\left(–2,\text{6}\right)$ y $\left(2,\text{1}\right).$ El gráfico es un ejemplo de función de decaimiento exponencial.

Figura 4 el gráfico de $f(x)=\mathrm{2,4492}{(\mathrm{0,6389})}^x$ modela el decaimiento exponencial.

Podemos elegir la intersección en y del gráfico, $\left(0,3\right),$ como nuestro primer punto. Esto nos da el valor inicial, $a=3.$ A continuación, elija un punto de la curva a cierta distancia de $\left(0,3\right)$ que tiene coordenadas enteras. Uno de estos puntos es $(2,12).$

$$\begin{array}{ll}y=a{b}^x\hfill & \text{Escriba la forma general de una ecuación exponencial}.\hfill \\ y=3b^x\hfill & \text{Sustituya el valor inicial 3 por}a.\hfill \\ 12=3b^2\hfill & \text{Sustituya el 12 por}y\text{y 2 por}x.\hfill \\ 4=b^2\hfill & \text{Divida entre 3}.\hfill \\ b=\pm 2\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\hfill & \text{Tome la raíz cuadrada}.\hfill \end{array}$$

Dado que nos limitamos a los valores positivos de $b,$ utilizaremos $b=2.$ Sustituya $a$ y $b$ en la forma estándar para obtener la ecuación $f(x)=3{(2)}^x.$

Siga las directrices anteriores. Primero pulse [STAT], [EDIT], [1: Edit…], y borre las listas L1 y L2. A continuación, en la columna L1, introduzca las coordenadas de la x, 2 y 5. Haga lo mismo en la columna L2 con las coordenadas de la y, 24,8 y 198,4.

Ahora pulse [STAT], [CALC], [0: ExpReg] y presione [ENTER]. Los valores $a=\mathrm{6,2}$ y $b=2$ se mostrarán. La ecuación exponencial es $y=\mathrm{6,2}\cdot 2^x.$

Dado que estamos empezando con 3.000 dólares, $P=\mathrm{3.000.}$ Nuestro tipo de interés es del 3 %, por lo que $r=\mathrm{0,03.}$ Ya que capitalizamos trimestralmente, esto significa 4 veces al año, así que $n=4.$ Queremos saber el valor de la cuenta en 10 años, por lo que buscamos $A\left(10\right),$ el valor cuando $t=10.$

$$\begin{array}{lll}A(t)\hfill & =P{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{nt}\hfill & \text{Utilice la fórmula del interés compuesto}.\hfill \\ A(10)\hfill & =3.000{\left(1+\frac{\mathrm{0,03}}{4}\right)}^{\mathrm{4\cdot 10}}\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\hfill & \text{Sustituya utilizando los valores dados}.\hfill \\ \hfill & \approx \text{\$}\mathrm{4.045,05}\hfill & \text{Redondee a dos decimales}.\hfill \end{array}$$

La cuenta tendrá un valor de unos 4.045,05 dólares en 10 años.

El tipo de interés nominal es del 6 %, por lo que $r=\mathrm{0,06.}$ El interés se capitaliza dos veces al año, por lo que $k=2.$

Queremos calcular la inversión inicial, $P,$ necesaria para que el valor de la cuenta sea de 40.000 dólares en $18$ años. Sustituya los valores dados en la fórmula del interés compuesto y resuelva para $P.$

$$\begin{array}{lll}A(t)\hfill & =P{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{nt}\hfill & \text{Utilice la fórmula del interés compuesto}.\hfill \\ 40.000\hfill & =P{\left(1+\frac{\mathrm{0,06}}{2}\right)}^{2(18)}\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\hfill & \text{Sustituya utilizando los valores dados}A\text{,}r,n\text{y}t.\hfill \\ 40.000\hfill & =P{(\mathrm{1,03})}^{36}\hfill & \text{Simplifique}.\hfill \\ \frac{40.000}{{(\mathrm{1,03})}^{36}}\hfill & =P\hfill & \text{Aísle}P.\hfill \\ P\hfill & \approx \text{\$}13.801\hfill & \text{Divida y redondee al dólar más cercano}.\hfill \end{array}$$

Lily tendrá que invertir 13.801 dólares para tener 40.000 dólares en 18 años.

Dado que el valor de la cuenta es creciente, se trata de un problema de composición continua con tasa de crecimiento $r=\mathrm{0,10.}$ La inversión inicial fue de 1.000 dólares, por lo que $P=\mathrm{1.000.}$ Utilizamos la fórmula de capitalización continua para calcular el valor después de $t=1$ año:

$$\begin{array}{lll}A(t)\hfill & =P{e}^{rt}\hfill & \text{Utilice la fórmula de capitalización continua}.\hfill \\ \hfill & =1.000{(e)}^{\mathrm{0,1}}\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\hfill & \text{Sustituya los valores conocidos por}P,r,\text{y}t.\hfill \\ \hfill & \approx \mathrm{1.105,17}\hfill & \text{Utilice una calculadora para estimar}.\hfill \end{array}$$

La cuenta tiene un valor de 1.105,17 dólares al cabo de un año.

Dado que la sustancia decae, la tasa, $\mathrm{17,3}\%$, es negativa. Así que, $r=-\mathrm{0,173.}$ La cantidad inicial de radón 222 era de $100$ mg, por lo que $a=100.$ Utilizamos la fórmula de decaimiento continuo para calcular el valor después de $t=3$ días:

$$\begin{array}{lll}A(t)\hfill & =a{e}^{rt}\hfill & \text{Utilice la fórmula de crecimiento continuo}.\hfill \\ \hfill & =100e^{-\mathrm{0,173}(3)}\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\hfill & \text{Sustituya los valores conocidos por}a,r,\text{y}t.\hfill \\ \hfill & \approx \mathrm{59,5115}\hfill & \text{Utilice una calculadora para estimar}.\hfill \end{array}$$

Por lo que quedarán 59,5115 mg de radón 222.